Здесь мы попрактикуемся в численном решении дифференциальных уравнений. В качестве примера возьмем красивейший раздел теоретической механики – свободное вращение твёрдого тела и в частности эффект, открытый космонавтом Владимиром Джанибековым.

Эффект Джанибекова состоит в том, чтобы раскрутить находящийся на винте барашек

так, чтобы он отправился в свободный полёт. Барашек в полёте будет периодически разворачивается на 180^o.

Cвободное вращение твердого тела описывается динамическими уравнениями Эйлера:

Здесь I₁, I₂, I₃ - главные моменты инерции тела, ω₁, ω₂, ω₃ - компоненты вектора угловой скорости вращения в системе координат, связаной с телом, M₁, M₂, M₃ - компоненты вектора момента силы, воздействующей на тело. Подробнее с теорией вращения твердого тела можно познакомиться в википедии или в учебниках по теоретической механике.

Будем рассматривать свободное вращение тела т.е. случай, когда все компоненты момента силы M равны нулю.

Решать систему уравнения будем с помощью метода конечных разностей (Finite difference method), т.е. путем замены всех компонент производной от угловой скорости по времени

на частные от деления малых приращений соответствующих компонентов угловой скорости на малое приращение времени : Δω₁ / Δt, Δω₂ / Δt, Δω₃ / Δt

Алгоритм решения уравнений и графическое отображение результатов реализовано в скрипте Graphics_Janibekovs_effect.txt.

Интерпретация расчетов. Начальные скорости вращения вдоль осей x,y,z связанных с телом заданы 1, 0.05 и 0. Это означает что вектор скорости вращения направлен близко к оси координат x с небольшим отклонением к оси y. На графике красная, зеленая и синяя линии отображают x, y и z компоненты угловой скорости. Скорости вращения в уравнениях Эйлера – в системе координат, связанной с телом и не позволяют непосредственно вычислить скорости в неподвижной системе координат.

Однако опираясь на закон сохранения момента импульса тела можно утверждать, что в максимумах красной линии вектор момента вращения практически содержит только x-компоненту и значит направление оси x подвижной системы координат связанной с телом совпадает с направлением вектора момента импульса тела в неподвижной системе координат (который является константой), а в минимумах ось x направлена в противоположную сторону. Собственно в периодической смене направлений оси вращения и состоит эффект Джанибекова.