Здесь мы попрактикуемся в численном решении дифференциальных уравнений. В качестве примера возьмем красивейший раздел теоретической механики – свободное вращение твёрдого тела и в частности эффект, открытый космонавтом Владимиром Джанибековым.
Эффект Джанибекова состоит в том, чтобы раскрутить находящийся на винте барашек
так, чтобы он отправился в свободный полёт. Барашек в полёте будет периодически разворачивается на 180<sup>o</sub>.
Cвободное вращение твердого тела описывается <a class="a-external" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics)">динамическими уравнениями Эйлера</a>:
Здесь I<sub>1</sub>, I<sub>2</sub>, I<sub>3</sub> - компоненты момента инерции тела, ?<sub>1</sub>, ?<sub>2</sub>, ?<sub>3</sub> - компоненты угловой скорости вращения в системе координат, связяной с телом, M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub> - компоненты момент силы, воздействующей на тело. Подробнее с теорией вращения твердого тела можно познакомиться в <a class="a-external" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics)">википедии</a> или в учебниках по теоретической механике.
Будем рассматривать свободное вращение т.е. случай, когда все компоненты момента силы M равны нулю. Решать уравнения будем с помощью метода конечных разностей (Finite difference method), т.е. путем замены производной от угловой скорости ? по времени t на частное от малых приращений ? и t: ?? / ?t
Алгоритм решения уравнений и графическое отображение результатов реализовано в скрипте Graphics_Janibekovs_effect.txt.
Интерпретация расчетов. Начальные скорости вращения вдоль осей x,y,z заданы 1, 0.05 и 0. Это означает что вектор скорости вращения направлен близко к оси координат x с небольшим отклонением к оси y. На графике красная, зеленая и синяя линии отображают x, y и z компоненты угловой скорости. Скорости вращения в уравнениях Эйлера – в системе координат, связанной с телом и не позволяют непосредственно вычислить скорости в неподвижной системе координат.
Однако опираясь на закон сохранения момента импульса тела можно утверждать, что в максимумах красной линии вектор момента вращения практически содержит только x-компоненту и значит ось x подвижной системы координат направлена вдоль вектора момента импульса тела (который константа), а в минимумах ось x направлена в противоположную сторону. Собственно в периодической смене направлений оси вращения и состоит эффект Джанибекова.