Здесь мы попрактикуемся в численном решении дифференциальных уравнений. В качестве примера возьмем красивейший раздел теоретической механики – свободное вращение твёрдого тела и в частности эффект, открытый космонавтом Владимиром Джанибековым.

Эффект Джанибекова состоит в том, чтобы раскрутить находящийся на винте барашек

так, чтобы он отправился в свободный полёт. Барашек в полёте будет периодически разворачивается на 180^o.

Cвободное вращение твердого тела описывается динамическими уравнениями Эйлера:

Здесь I₁, I₂, I₃ - главные моменты инерции тела, ω₁, ω₂, ω₃ - компоненты вектора угловой скорости вращения в системе координат, связаной с телом, M₁, M₂, M₃ - компоненты вектора момента силы, воздействующей на тело. Подробнее с теорией вращения твердого тела можно познакомиться в википедии или в учебниках по теоретической механике.

Будем рассматривать свободное вращение тела т.е. случай, когда все компоненты момента силы M равны нулю. Решать уравнения будем с помощью метода конечных разностей (Finite difference method), т.е. путем замены производной от угловой скорости ω по времени t на частное от малых приращений ω и t: Δω / Δt

Алгоритм решения уравнений и графическое отображение результатов реализовано в скрипте Graphics_Janibekovs_effect.txt.

Интерпретация расчетов. Начальные скорости вращения вдоль осей x,y,z связанных с телом заданы 1, 0.05 и 0. Это означает что вектор скорости вращения направлен близко к оси координат x с небольшим отклонением к оси y. На графике красная, зеленая и синяя линии отображают x, y и z компоненты угловой скорости. Скорости вращения в уравнениях Эйлера – в системе координат, связанной с телом и не позволяют непосредственно вычислить скорости в неподвижной системе координат.

Однако опираясь на закон сохранения момента импульса тела можно утверждать, что в максимумах красной линии вектор момента вращения практически содержит только x-компоненту и значит направление оси x подвижной системы координат связанной с телом совпадает с направлением вектора момента импульса тела в неподвижной системе координат (который является константой), а в минимумах ось x направлена в противоположную сторону. Собственно в периодической смене направлений оси вращения и состоит эффект Джанибекова.